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Flujo de Taylor-Couette: viscosidad y patrones de flujo

José Andrés Rodríguez Migueles

Preparatoria La Salle del Pedregal

Resumen

Dos cilindros concéntricos pueden montarse de tal manera que sea posible hacerlos girar con distintas velocidades angulares en torno a su eje común, que se supone en posición vertical. Si se llena de un fluido al espacio que hay entre ambos y se hace girar el cilindro interior a bajas velocidades es posible medir la viscosidad del fluido, teniendo fijo el cilindro externo. Si se hiciera girar demasiado rápido al cilindro interior, el fluido que próximo a él tendría tendencia a desplazarse hacia fuera como consecuencia de la fuerza centrífuga y se producirían remolinos o vórtices. Este trabajo examina el uso de este dispositivo para medir la viscosidad de algunos fluidos. Determinamos además que dos fluidos de diferente viscosidad tienen el mismo número de Reynolds en el momento que aparece la primera inestabilidad, conocida como vórtices de Taylor. Damos una explicación sobre las patrones que se presentan en el flujo de Taylor-Couette en términos de simetría.

Flujo de Couette-Taylor: viscosidad y patrones de flujo

El planteamiento del problema es: ¿Podemos determinar la viscosidad y la aparición de inestabilidades con un dispositivo de dos cilindros concéntricos?

Analizar la dinámica de los fluidos, incluyendo los efectos de la viscosidad y examinar el comportamiento real de los fluidos describiendo experimentalmente y cuantitativamente los efectos y factores que se producen en el flujo de Taylor-Couette.

Los experimentos realizados por otros físicos, que sirvieron como antecedentes fue:

Andereck, D. C. D.; Liu, S. S.; Swinney, H. L. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders. J. Fluid Mech., University of Texas,1986.

El documento está dividido en dos partes: la primera se refiere al uso del flujo de Taylor-Couette como viscosímetro, idea y análisis que provino de las lecturas al libro de Física de Feynman; en la segunda parte se analiza la gama de patrones que se observan en este dispositivo, empezando un esquema general cualitativo del proceso de formación de patrones y completando enseguida el esquema con detalles cuantitativos, con ayuda de las lecturas del libro ¿Es Dios un geómetra? de Ian Stewart.

En 1888 el científico francés Maurice Couette se propuso estudiar los flujos de cizallamiento, en los que las capas de fluido se deslizan unas sobre otras. El modelo matemático más sencillo del flujo de cizallamiento es el fluido que se encuentra entre dos planos. El fluido está cerca de los planos se adhiere a ellos, por lo que las capas del fluido se ven obligadas a deslizarse una sobre otra. Este modelo no es muy adecuado para experimentos, ya que no se tienen planos infinitos, ni tampoco la cantidad infinita de fluido que se precisa para llenar el espacio vacío entre los planos.

Lo que en realidad se necesita es un dispositivo de tamaño finito dentro del laboratorio que permanezca en el mismo lugar sobre la mesa. Couette utilizó dos cilindros, uno metido dentro de otro. Llenó con fluido el espacio que había entre ambos e hizo que el cilindro interior rotara para crear el cizallamiento. Debido a que la rotación, a diferencia de la traslación, puede continuar indefinidamente, el flujo de cizallamiento se estudian con un sistema de este tipo.

Couette no fue el primero que inventó este aparato. Isaac Newton habló del movimiento de fluidos que se encontraban metidos entre cilindros de revolución en el Libro II de su Principia en 1687.

Max Margules, un meteorólogo austriaco, propuso en 1881 utilizar el modelo para medir viscosidad; y Arnulph Mallock, que era ayudante de Lord Rayleigh, llegó a utilizar el aparato en 1888 –año en que Couette comenzó sus investigaciones- para medir la viscosidad del agua. Aquí es donde empieza la primera parte del proyecto con la siguiente pregunta ¿Cómo se puede medir la viscosidad de un fluido? Para contestar esta pregunta veremos algunos factores que afectan en la dinámica de fluidos. Un líquido se caracteriza por el hecho de que si le aplica un esfuerzo de corte – por pequeño que se quiera- cede. En situaciones estáticas no hay esfuerzos de corte. Pero antes de que se alcance el equilibrio puede haber fuerzas de corte. La viscosidad describe estas fuerzas de corte que existen en un fluido en movimiento. Para tener una medida de la fuerzas de corte consideremos el siguiente experimento. Suponga que tenemos dos superficies sólidas planas con agua entre ellas -como las que se presentaron al principio de este reporte- y mantenemos una quieta mientras movemos la otra paralelamente a ella a una velocidad u0. Si se mide la fuerza necesaria para mantener el movimiento de la placa superior, encuentran que es proporcional al área de las placas y a u0/d, donde d es la distancia entre las placas. Entonces el esfuerzo de corte F/A es proporcional a u0/d. La constante de proporcionalidad h se llama coeficiente de viscosidad. (Fig.1.1)

Si tenemos una situación más complicada, siempre podemos considerar una pequeña celda rectangular y plana en el agua con sus caras paralelas al flujo. La fuerza de corte esta dada por:

DF/DA=h(Mux/Md)

Ahora bien, Mux/Md es la derivada de la deformación de corte, así que para un líquido, el esfuerzo de corte es proporcional a la derivada de la deformación de corte (Sxy).

Sxy=h(Mux/Md)

Como ejemplo de aplicación de estos conceptos, consideremos el movimiento de un fluido entre dos cilindros coaxiales (Fig1.2). Sea a el radio del cilindro interno, b el del externo y ua y ub las correspondientes velocidades periféricas. Podríamos preguntar: ¿cuál es la distribución de velocidades entre los cilindros? Para responder esta pregunta, comencemos por hallar una fórmula para el esfuerzo viscoso por viscosidad en el fluido a una distancia r del eje. Por la simetría del problema, podemos suponer que el flujo siempre es tangencial y que depende únicamente de r. Y a su vez la deformación de corte es proporcional a r(Mw/Mr).

El esfuerzo calculado es el esfuerzo tangencial de corte que es el mismo alrededor de todo el cilindro. Podemos obtener el torque que actúa a través de una superficie cilíndrica de radio r multiplicando el esfuerzo de corte por el brazo de momento r y el área 2prl. Siendo l la longitud del cilindro. Obteniendo:

t=2pr3l(Mw/Mr)

Como el movimiento de cualquier fluido es estacionario –no hay aceleración angular –el torque resultante sobre la capa cilíndrica de agua entre r y r+dr debe ser cero; es decir que el torque en r tiene que estar equilibrado por un torque igual y opuesto en r + dr, de modo que t tiene que ser independiente de r. En otras palabras, r3(Mw/Mr) es igual a una constante A, por lo tanto

Mw/Mr=A/r3

Integrando tenemos que w varia con r así

w=-(A/2r2)+B

Las constantes A y B se determinan por las condiciones w=wa en r=a y w=wb en r=b, si queremos el torque, podemos obtenerlo:

t=[4phla2b2(wb-wa)]/(b2-a2)

Por lo tanto podemos hacer uso del flujo de Couette-Taylor, para saber la viscosidad de algunos fluidos. Por el momento tenemos dos variables que desconocemos el torque y la viscosidad. La descripción de la medición del torque se encuentra en la metodología del proyecto.

Ahora nos dedicaremos al estudio de los patrones describiendo primero el cambio que aparece en el flujo como consecuencia de la viscosidad. Para ello necesitamos del número de Reynolds

U=r/h uD

El significado físico es muy interesante. Significa, por ejemplo, que si resolvemos el problema del flujo para una velocidad u1 y cierto diámetro D1 del cilindro, y luego preguntamos cual es el flujo para un diámetro D2 diferente y un fluido diferente, el flujo será el mismo para la velocidad u2 que dé el mismo número de Reynolds.

Además el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar. Así por ejemplo en tubos circulares si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento. El mecanismo y muchas de las razones por las cuales un flujo es laminar o turbulento todavía hoy motivo de investigación.

El flujo de cizallamiento entre cilindros concéntricos posee todas las características que pueden resultar interesantes para un estudioso de la dinámica de fluidos, pero carece de atractivo a la hora de crear una patrón, ya que parece no tener ninguna. Se trata de un flujo uniforme y sin rasgos distintivos que tienen más o menos el mismo aspecto en todos los puntos del cilindro. Esta sencillez fue importante para nosotros ya que nos facilita la tarea de realizar estudios cuantitativos.

Por suerte para nosotros, el sistema de Couette genera toda una gama de pautas de flujo, además del relativamente aburrido flujo de cizallamiento para el que él lo diseñó.

El estudio de los patrones de flujo entre los cilindros de Couette empezó con los trabajos del experto británico en matemáticas aplicadas Geofrey Ingram Taylor en 1923. Taylor observó que, si se aumenta la velocidad del cilindro interior, el flujo deja de ser uniforme para tornarse en algo análogo a un pila de rosquillas. En cada vórtice, el fluido se mueve realizando recorridos en espiral en torno a un toro y los vórtices se producen a pares, invirtiéndose el sentido de la espiral de un cilindro al siguiente. Las fronteras entre estos vórtices son planas y, sólo si se observa muy de cerca, se puede ver que el fluido no está estacionario en los vórtices. Se trata de un flujo uniforme, lo que no significa que el fluido no se mueve, sino que la velocidad es la misma en todos los puntos en cualquier instante.

Cuando aumentamos más la velocidad del cilindro interior, el flujo deja de ser uniforme y la velocidad del flujo en un punto dado empieza a variar con el tiempo. Se siguen viendo vórtices, pero el espacio que queda entre ellos desarrolla una forma ondulante y esta onda gira lentamente en torno al cilindro. Este estado recibe el nombre de flujo de vórtices ondulantes.

Si algo funciona dos veces, hay que hacerlo funcionar una tercera vez, así que vamos a aumentar de nuevo la velocidad del cilindro. Ahora la frontera ondulante oscila hacia arriba y hacia abajo, al mismo tiempo que se produce la rotación, como si fueran los caballitos de un tiovivo. El nombre científico es más serio: vórtices ondulantes modulados. Sigamos incrementando la velocidad del cilindro... se observa una secuencia cada vez más rápida de cambios que es cada vez más difícil percibir, hasta que el flujo se vuelve turbulento, aunque sigue siendo ondulante. Esto se denomina turbulencia ondulante. Si la velocidad aumenta aún más, surge una sorpresa: la estructura en capas de los vórtices de Taylor vuelve a formarse, pero como si estuviera superpuesta a la turbulencia. Este estado recibe el nombre de vórtices turbulentos de Taylor.

A velocidades aún mayores se obtienen turbulencias sin ningún rasgo especial, que tienen más o menos el mismo aspecto en cualquier lugar de fluido.

Sabemos cada uno de los patrones esta en función del número de Reynolds y que a su vez el número de Reynolds depende de la velocidad y viscosidad del fluido. Por lo que podemos inferir que para una velocidad y viscosidad dada en un fluido estando en el patrón de vórtices de Taylor su número de Reynolds será el mismo que otro fluido con distinta velocidad y viscosidad en la misma pauta.

Una rica variedad de incógnitas en este flujo, aunque hasta aquí el sistema de Couette-Taylor apenas ha empezado a exhibir su repertorio de trucos.

Método

Participantes:

José Andrés Rodríguez Migueles

Sergio Hernández Zapata (Laboratorio de fluidos, Facultad de Ciencias, UNAM)

Gerardo Ruiz Chavarria (Laboratorio de fluidos, Facultad de Ciencias, UNAM)

Materiales (Fig.2.1):

Captor de fuerzas (5V)

Osciloscopio

Dos cilindros concéntricos (47cm de longitud): Interno (4.4 cm de diámetro) y Externo (5.5 cm de diámetro)

2 motores Parker

Computadora y programa de control de los motores

Abrazadera de 7 cm de diámetro

2 Poleas

Pesas de 100g y 200g

Substancias:

Solución al 33% de glicerina en agua

Solución al 50% de glicerina en agua

Champú comercial de cola de Caballo y extracto de tomillo

· Procedimiento para fluidos muy viscosos:

Este procedimiento se realizó con el champú comercial.

Dispositivo usado (Fig. 2.2)

1. Calibrar el captor de fuerzas calculando la cantidad de voltaje que produce una determinada fuerza, con ayuda del osciloscopio y con ello medir el torque propuesto en la introducción del trabajo.

Peso (N) "0.05

Voltaje (V) "0.05

(V/N)

0.74

2.03

0.83

0.04

3.03

0.87

0.04

4.03

0.90

0.03

5.03

0.94

0.03

5.98

0.99

0.04

7.03

1.03

0.04

8.03

1.07

0.04

9.03

1.11

0.04

10.03

...

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